Abaqus线性动态分析

如果你只对结构承受载荷后的长期响应感兴趣，静力分析（static analysis）是足够的。然而，如果加载时间很短（例如在地震中）或者如果载荷在性质上是动态的（例如来自旋转机械的荷载），你就必须采用动态分析（dynamic analysis）。本章将讨论应用ABAQUS/Standard进行线性动态分析；关于应用ABAQUS/Explicit进行非线性动态分析的讨论，请参阅第9章“非线性显式动态分析”。

7.1  引言

动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中：

其中

M                结构的质量。

                结构的加速度。

                在结构中的内力。

P                 所施加的外力。

在上面公式中的表述是牛顿第二运动定律（F = ma）。

在静态和动态分析之间最主要的区别是在平衡方程中包含了惯性力（M ）。在两类模拟之间的另一个区别在于内力 的定义。在静态分析中，内力仅由结构的变形引起；而在动态分析中，内力包括源于运动（例如阻尼）和结构的变形的贡献。

7.1.1 固有频率和模态

最简单的动态问题是在弹簧上的质量自由振动，如图7-1所示。

图7–1  质量－弹簧系统

在弹簧中的内力给出为 ，所以它的动态运动方程为

这个质量－弹簧系统的固有频率（natral frequency）（单位是弧度/秒（rad/s））给出为

如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。若以此频率施加一个动态外力，位移的幅度将剧烈增加，这种现象即所谓的共振。

实际结构具有大量的固有频率。因此在设计结构时，非常重要的是避免使可能的载荷频率过分接近于固有频率。通过考虑非加载结构（在动平衡方程中令 ）的动态响应可以确定固有频率。则运动方程变为

对于无阻尼系统， ，因此有

这个方程的解具有形式为

将此式代入运动方程，得到了特征值（eigenvalue）问题

其中 。

该系统具有 个特征值，其中 是在有限元模型中的自由度数目。记 是第 个特征值；它的平方根 是结构的第 阶模态的固有频率（natural frequency），而 是相应的第 阶特征向量（eigenvector）。特征向量也就是所谓的模态（mode shape）（也称为振型），因为它是结构以第 阶模态振动的变形形状。

在ABAQUS/Standard中，应用频率的提取过程确定结构的振型和频率。这个过程应用起来十分容易，你只要指出所需要的振型数目或所关心的最高频率即可。

7.1.2 振型叠加

在线性问题中，可以应用结构的固有频率和振型来定性它在载荷作用下的动态响应。采用振型叠加（modal superposition）技术，通过结构的振型组合可以计算结构的变形，每一阶模态乘以一个标量因子。在模型中的位移矢量 定义为

其中 是振型 的标量因子。这一技术仅在模拟小变形、线弹性材料和无接触条件的情况下是有效的，换句话说，即线性问题。

在结构的动力学问题中，结构的响应往往被相对较少的几阶振型控制，在计算这类系统的响应时，应用振型叠加成为特别有效的方法。考虑一个含有10,000个自由度的模型，对动态运动方程的直接积分将在每个时间点上同时需要联立求解10,000个方程。如果通过100个振型来描述结构的响应，则在每个时间增量步上只需求解100个方程。更重要的是，振型方程是解耦的，而原来的运动方程是耦合的。在计算振型和频率的过程中，开始时需要一点成本，但是，在计算响应时将会节省大量的计算花费。

如果在模拟中存在非线性，在分析中固有频率会发生明显的变化，因此振型叠加法将不再适用。在这种情况下，只能要求对动力平衡方程直接积分，它所花费的时间比振型分析昂贵得多。

必须具备下列特点的问题才适合于进行线性瞬态动力分析：

Ÿ           系统应该是线性的：线性材料行为，无接触条件，以及没有非线性几何效应。

Ÿ           响应应该只受相对少数的频率支配。当在响应中频率的成分增加时，诸如是打击和碰撞的问题，振型叠加技术的效率将会降低。

Ÿ           载荷的主要频率应该在所提取的频率范围之内，以确保对载荷的描述足够精确。

Ÿ           应用特征模态，应该精确地描述由于任何突然加载所产生的初始加速度。

Ÿ           系统的阻尼不能过大。

7.2  阻尼

如果允许一个无阻尼结构做自由振动，则它的振幅会是一个常数。然而在实际中，能量被结构的运动耗散，振动的幅度减小直至振动停止。这种能量耗散被称为阻尼（damping）。通常假定阻尼为粘滞的，或者正比于速度。包含阻尼的动力平衡方程可以重新写为

其中

C                 是结构的阻尼矩阵

                是结构的速度。

能量耗散来自于诸多因素，其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼是一种很方便的方法，它包含了重要的能量吸收而又无需模拟具体的效果。

在ABAQUS/Standard中，特征模态的计算是关于无阻尼系统的。然而，大多数工程问题都包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。对于每个模态，在有阻尼和无阻尼的固有频率之间的关系是

其中

              是阻尼特征值，

        是临界阻尼比，

                是该振型的阻尼，

               是临界阻尼。

对于 的较小值（ ），有阻尼系统的特征频率非常接近于无阻尼系统的相应值；当 增大时，无阻尼系统的特征频率成为不太准确的；而当 接近于1时，采用无阻尼系统的特征频率就成为无效的。

如果结构是处于临界阻尼（ ），在任何扰动后，结构不会有摆动而是尽可能迅速地恢复到它的初始静止构形。（见图7-2）

图7–2  阻尼

7.2.1 在ABAQUS/Standard中阻尼的定义

对于瞬时模态分析，在ABAQUS/Standard中可以定义一些不同类型的阻尼：直接模态阻尼（direct modal damping），瑞利阻尼（Rayleigh damping）和复合模态阻尼（composite modal damping）。

阻尼是针对模态动力学过程定义的，阻尼是分析步定义的一部分，每阶模态可以定义不同量值的阻尼。

直接模态阻尼

应用直接模态阻尼可以定义与每阶模态相关的临界阻尼比 ，其典型的取值范围是在临界阻尼的1%到10%之间。直接模态阻尼允许用户精确地定义系统的每阶模态的阻尼。

Rayleigh阻尼

在Rayleigh阻尼中，假设阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合，

                                                     ，

其中 和 是由用户定义的常数。尽管阻尼是正比于质量和刚度矩阵的假设没有严格的物理基础，实际上我们对于阻尼的分布知之甚少，也就不能保证其它更为复杂的模型是正确的。一般的，这个模型对于大阻尼系统不可靠；即超过临界阻尼的大约10%。相对于其它形式的阻尼，你可以精确地定义系统的每阶模态的Rayleigh阻尼。

对于一个给定模态i，临界阻尼值为 ，而Rayleigh阻尼值 和 的关系为

复合阻尼

在复合阻尼中，对于每种材料定义一个临界阻尼比，这样就得到了对应于整体结构的复合阻尼值。当结构中有多种不同的材料时，这一选项是有用的。在本指南中将不对复合阻尼做进一步的讨论。

7.2.2 选择阻尼值

在大多数线性动力学问题中，恰当地定义阻尼对于获得精确的结果是十分重要的。但是，在某种意义上阻尼只是近似地模拟了结构吸收能量的特性，并非试图去模拟引起这种效果的物理机制。因此，在模拟中确定所需要的阻尼数据是很困难的。偶尔，你可以从动态试验中获得这些数据，但是，你不得不通过查阅参考资料或者经验获得这些数据。在这些情况下，你必须十分谨慎地解释模拟结果，并通过参数分析研究来评估模拟对于阻尼值的敏感性。

7.3  单元选择

事实上，ABAQUS的所有单元均可用于动态分析，选取单元的一般原则与静力分析相同。但是，在模拟冲击和爆炸载荷时，应该选用一阶单元，因为它们具有集中质量公式，这种公式模拟应力波的效果优于二阶单元采用的一致质量公式。

7.4  动态问题的网格剖分

当你正在设计应用于动态模拟的网格时，你需要考虑在响应中将被激发的振型，并且使所采用的网格能够充分地反映出这些振型。这意味着能够满足静态模拟的网格，不一定能够计算由于加载激发的高频振型的动态响应。

例如，考虑图7-3所示的板。一阶壳单元的网格对于板受均布载荷的静力分析是适合的，并也适合于一阶振型的预测。但是，该网格是明显地过于粗糙以至于不能够精确地模拟第六阶振型。

图7–3  板的粗网格

图7-4显示了同样的板采用了一阶单元的精细网格的模拟。现在，第六阶振型的位移形状看起来明显变好，对于该阶振型所预测的频率更加准确。如果作用在板上的动态载荷会显著地激发该阶振型，则必须采用精细的网格；采用粗网格将得不到准确的结果。

图7–4 板的精细网格

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