一、单元的完备性与协调性

在单元的形状、节点数目确定后，单元位移函数的选取是影响有限元解的精确性的关键。可以证明，在位移函数满足以下条件时，有限元的解答一定是收敛于真实解的，即随着单元尺寸的减小，解答将趋于精确解。

从物理意义上讲：

1、位移函数中应包含刚体位移，若不包含，则单元节点位移为单元刚体位移时，单元会产生非零应变。

2、位移函数应能反应单元的常应变状态，因为在单元尺寸趋于零时，单元的应变应趋于常数。

3、位移函数在单元内要连续，在单元之间的边界上要协调。以免连续模型用离散模型代替后产生不连续，即单元边界处产生裂缝或重叠。

满足1、2的单元称为完备性单元，满足条件3的单元称为协调性单元。

从数学意义上讲：

完备性准则：若能量泛函（如势能）中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶。则位移函数至少是m阶完全多项式。

协调性准则：若能量泛函（如势能）中所出现的位移函数的最高阶导数是1阶，则位移函数在单元边界上保持连续，也即是位移在整个求解域内连续，应变和应力在单元内连续，在单元边界上不连续，该类型单元称为C0型单元。若最高阶导数为2阶，则不仅位移函数在单元边界上保持连续，位移函数的导数也在单元边界上保持连续，也即是位移在整个求解域连续，应变和应力不仅在单元内连续，在单元边界上也连续，该类型单元称为C1型单元。

单元即完备又协调构成有限元解收敛的充分条件，完备性要求构成有限元解收敛的必要条件。

也即是说，放松对协调性的要求的一些非协调单元，也可以得到收敛解，并且，其收敛的速度比协调单元还快、精度更高。

在abaqus中，一阶单元为C0型单元。二阶单元为C1型单元。非协调模式的单元针对一阶单元的边只能线性的伸长或缩短而不能弯曲的特性，引入了一个增强单元变形梯度的附加的自由度，消除悬臂梁在承受弯曲载荷时产生的剪切自锁现象。对变形梯度的增强完全是在一个单眼的内部，与位于边界上的节点无关。与直接增强位移场的非协调模式公式不同。

二、有限元位移解的下限性质

有限元解具有下限性质，即使有限元的解小于实际的精确解。这是因为实际结构具有无限自由度的，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合后便成为了有限个自由度。由无限自由度变为有限自由度相当于对真实位移函数增加了约束，限制了结构变形能力，从而导致结构的刚度增大，使结构变得刚硬，计算的位移偏小（动力问题使基频升高）。但单元的尺寸逐步减小时，则意味着约束减小，系统的刚度较小，使结构变得柔软，计算的位移增大，结果将趋于真实解。

二阶单元和一阶单元相比，二阶单元在边的中点处布置节点，给单元的变形施加了更小的约束，在相同网格密度的情况下位移的计算精度要高于一阶单元，但二阶单元的计算量要高于一阶单元。

然而实际情况位移解的变化还与单元有一定的关系。

如图 1所示，在载荷P的作用下自由端的挠度为3.09mm。分别采用平面应力单元和实体单元，一阶和二阶，完全和减缩积分单元来模拟梁自由端的挠度。

关于各种单元模拟情况下的自由端位移与梁理论解的比值如下图所示。

从图3可以看出，但使用一阶完全积分单元时，随着网格细化，其位移解单调上升，逐步趋向理论解。从图4可以看出，但使用线性减缩积分单元时，随着网格细化，其位移解单调下降，逐步接近理论解。从结构平衡方程的角度来讲，在单元划分粗糙的情况下，线性完全积分单元计算的数值刚度相对于结构的真实刚度偏大。而线性减缩积分单元计算的数值刚度相对于结构的真实刚度偏小。具体看下文的数值积分。

三、等参单元与数值积分

当采用等参单元时，在单元刚度矩阵和等效节点载荷的计算公式中，要进行积分运算，并且被积函数的非常复杂。很难求出原函数来精确积分。一般采用数值积分方法，即在单元内选出某些点作为积分点，计算被积函数在这些积分点的值，再分别乘以权系数，然后求其和作为近似积分值。数值积分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯积分法，它能以较小的积分点达到较高的计算精度。

对于等参单元，在计算单元刚度时，被积函数通常不能化为多项式因而难以确定积分点个数。但是如果单元很小，以致应变和应力的中的元素可视为常量时，则被积函数中的幂次将取决于刚度矩阵的被积函数中的雅克比行列式J的幂次。J的幂次取决于标准单元与等参单元之间的坐标变换关系。对于20节点空间单元，通常J中的局部坐标以5次幂的形式出现，也即是一维积分点个数N》（5+1）/2=3，才能做到精确积分。对于8节点空间单元，通常J中的局部坐标以3次幂的形式出现。

由于单元中的应力和应变不是常量，除了仅由一个积分点的常应变单元。故上述积分点的数目少于精确积分所需的数目。阶次低于精确积分所需阶次的高斯积分称为减缩积分。这种积分方案对于提高有限元位移解的精度是有益的。因为减缩积分较精确积分所得的积分值偏小。而位移有限单元法中位移函数用有限自由度来逼近无限自由度，使单元的刚度值扩大了。从而上述两种因素引起的误差被部分的抵消了。

精确积分通常由形函数中非完全多项式的最高阶次所要求，而决定有限元精度的通常是完全多项式的阶次。非完全的高次项往往不能提高精度，反而带来不利的影响，也就是说，积分点的选择只要能保证形函数中完全多项式部分的精确积分就可以了。不会因积分误差带来对有限元计算精度的影响。非完全的高次项在积分时得不到保证相当于对原位移函数作了调整，改善了单元分析精度。这种采用减缩积分保证完全多项式的积分精度来选择积分点的积分方案称为优化积分方案。

为使求解方程组K*d=R成为可能，引入边界条件后K必须是非奇异的。K非奇异的条件是K的行列式不等于0。

若采用精确积分方案计算K，则其非奇异性要求总能得到满足，因为任何非刚体位移模式对应的精确应变能总是大于0的。其刚度矩阵K必然正定。然而，当采用减缩积分时，K的非奇异性并不是必然的。例如在模型情况下，对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯积分点上的应变正好等于0，此时的应变能为0，这种非刚体位移模式称为零能量模式。因此采用减缩积分时，要检查K的非奇异性。一般一阶减缩积分在某些特殊情况下会出现刚度矩阵的奇异。而二阶减缩积分不会出现上述情况。也即是二阶减缩积分抵抗沙漏的能力要强于一阶减缩积分。

总之，通常有限元网格中的单元均是等参单元，要和标准单元之间进行坐标变换。这使得计算单元刚度矩阵是要使用高斯积分，不同阶次的单元，位移函数的阶次不同，精确积分所需的积分点个数也不同。刚度矩阵是通过高斯积分（单元上积分点上的函数值乘以权系数）得到的。求解得到的位移是节点的。由单元所有节点的位移的变化得到单元积分点处的应变。进而得到单元积分点上的应力。单元节点上的应力是通过积分点的应力外推插值得到的，共享某节点的所有单元在该节点上应力的平均值为该节点的应力。Abaqus后处理中显示的应力为节点的应力。所以说，单元节点处的位移是准确的，单元积分点处的应力是准确的。

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文章内容来源：有限元在线

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